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区块链中的数学(四十七)

  前面我们说了Weierstrass曲线上两点相加的几何意义,是通过两点连接一条直线,与曲线相交第三个点关于x轴的对称点就是所求的和。

  爱德华曲线也可以结合几何表示。

  令 = 1 表示单位圆, , 是圆上两个点,见下图:

区块链中的数学(四十七)

  , = (sin(α), cos(α)), 两点相加等于弧度相加后的坐标:

  x3 =

  y3 =

  现在单位元曲线换成爱德华曲线:

  (d = 1)

区块链中的数学(四十七)

扭曲爱德华曲线

  爱德华曲线稍加变化得到扭曲的爱德华曲线(Twisted Edwards curves),方程:

  满足a, d ≠ 0 且 a ≠ d.

  下图是在实数域上方程 的曲线

区块链中的数学(四十七)

  扭曲爱德华曲线方程多了一个系数a, 相对应的点加法运算有细微变化:

  x坐标计算不变,y坐标添加了a系数因子。

  如果两个相同点相加公式变为:

  有了扭曲爱德华曲线,正常的爱德华曲线可以看成扭曲爱德华曲线的特例(a = 1 的情况下),即每一条爱德华曲线都是扭曲爱德华曲线。

  为什么要有扭曲的爱德华曲线呢?

  大体两个方面:

  范围:爱德华曲线在有限域上阶为4限制了曲线的数量,使用扭曲方式进行扩展,所有**蒙哥马利曲线(Montgomery Curve)**都可以有理映射成扭曲爱德华曲线.

  性能:更大范围曲线使用快速的加法公式,一些爱德华曲线可以通过扭曲来加速运算

  以上优点都可以例证推理说明,涉及到知识点很多,感兴趣的可以自己查阅文后参考资料。

小结

  本文介绍了爱德华曲线运算的几何意义,引入了扭曲爱德华曲线。我们只说了平面坐标系下的运算,还有射影坐标系的运算规则和含义以及各种运算的定量分析,论证爱德华曲线运算的快速,这些内容可参考:

  https://christianepeters.files.wordpress.com/2012/10/20080620-rennes.pdf

  https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01942759/document

  https://en.wikipedia.org/wiki/Edwards_curve

  同时,本文中提到了蒙哥马利曲线,也是椭圆曲线的一种形式,所以我们说椭圆曲线的内容虽然讲了很多,但远未结束,不过我们聚焦区块链中使用相关的,从应用角度,简单学习原理也可以,不必深究!

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